Линейные уравнения с одним неизвестным.

Определение. Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение, левая и правая часть которого есть многочлены первой степени относительно x или числа.

Определение. Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение, левая и правая часть которого есть выражения, содержащие неизвестную величину в первой степени.

Общий вид линейного уравнения:

kx+b=0,

где k и b – любые данные числа,

а x - неизвестная величина.

k – коэффициент при неизвестном x,   а    b – свободный член.

Корнем (или решением)  уравнения называется такое число, при подстановке которого в уравнение вместо x получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

Исследуем уравнение в общем виде при определенных значениях коэффициента  k и свободного члена b.

1)      Если k=0, то уравнение принимает вид 0·x+b=0,  то есть b=0.

Тогда решение уравнения будет зависеть от значения b.

Если b=0, то  получаем 0=0 – верное равенство.

Значит, уравнение имеет бесконечно много решений, то есть не зависит от значения x.

Если значение b≠0, то получаем уравнение b=0. Число отличное от нуля не равно нулю. Значит, уравнение не имеет корней (нет решений).

2)      Если k≠0, то рассмотрим два варианта для свободного члена b.

Если b=0, то уравнение принимает вид kx+0=0, то есть kx=0.

Данное уравнение имеет единственное решение, если x=0. То есть корнем уравнения является число 0.

Если b≠0, то уравнение имеет общий вид: kx+b=0.

Пусть x  -  корень уравнения, тогда  kx+b=0  - верное равенство.

Выразим число x через числа k и b:   kx= - b; x=-b/k.

Если подставить это число в исходное уравнение, то оно становится верным равенством.

Значит, единственный корень нашего уравнения можно найти делением числа,  противополжного свободному члену b на коэффициент k.

---

Равносильность уравнений.

Определение: Два уравнения называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Если уравнения не имеют корней (решений), то они тоже считаются равносильными.

 

Для равносильных уравнений справедливы следующие утверждения:

 

1.      Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное данному.

2.      Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

3.      Если в левой или правой части уравнения привести подобные слагаемые или применить распределительный закон для раскрытия скобок, то получится уравнение, равносильное данному.

 

Эти утверждения применяют для преобразования линейных уравнений к виду    kx+b=0   и  нахождению корня уравнения.

---

Решение задач с помощью уравнения.

1. Внимательно прочитать условие задачи. Определить, что надо найти (понять главный вопрос задачи).
2. Обозначить буквой неизвестную величину. Если неизвестных величин несколько, то обычно буквой обозначают наименьшую величину (но не всегда).
3. Выразить остальные величины через неизвестную величину.
4. Используя условие задачи, составить уравнение.
5. Решить составленное уравнение.
6. Исследовать ситуацию: выяснить, является ли найденное с помощью уравнения решение ответом на вопрос задачи.

Если да, то задача решена.

Если нет, то

а) допущена ошибка в составлении уравнения или во время его решения;

б) задача не имеет решения.

7. Записать ответ.