В результате изучения данного раздела ученик обязан:

• понимать содержательный смысл важнейших свойств функции;
• по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся её свойств;
• строить графики функций.

 

Функция у=х.

Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0;0)   и точки вида (х;у).

Свойства функции:

1. Область определения: все числа х.
2. Область значений: все числа у.
3. f(0)=0, график пересекает оси координат в точке пересечения осей.
4. f(x)<0   при  х<0;      f(x)>0   при  х>0;     график расположен в I и I I I координатных четвертях.
5. Функция возрастает на всей своей области определения.
6. f(-x)=-f(x), значит функция является нечетной;     график симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).
7. Функция непрерывна на всей своей области определения.

 

Функция у=х².

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх,  точки имеют координаты (х;х²), вершина параболы - точка с координатами (0;0).

Свойства функции:

1. Область определения: все числа х.
2. Область значений:  только положительные числа у   –   график расположен в I и I I  координатных четвертях.
3. f(0)=0,    график пересекает оси координат в точке пересечения осей.
4. f(x)<0   не существует, так как нет действительного числа, квадрат которого будет отрицательным числом;    f(x)>0   при всех значениях х.
5. Функция возрастает на всей своей области определения.
6. f(-x)=f(x),  значит функция является четной; график симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия).
7. Функция непрерывна на всей своей области определения.

 

Функция у=1/х.

Графиком функции является гипербола, точками которой являются все точки вида (х;1/х).

Свойства функции:

1. Область определения: все числа х, кроме х=0. График состоит из двух частей.
2. Область значений: все числа у, кроме у=0.
3. f(0) не существует, так как делить на ноль нельзя. Значит, не существует значения у=0.
4. f(x)<0  при  х<0;  f(x)>0  при  х>0;       ветви графика расположены в I и I I I координатных четвертях.
5. Функция убывает на  всей своей области определения.
6. f(-x)=-f(x), значит функция является нечетной;      график симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).
7. Функция непрерывна на всей своей области определения.

 

Некоторые пункты плана исследования и построения графика функции.

скачать таблицу

Функция	График
1. Область определения функции (все возможные значения аргумента).	В каких координатных четвертях располагается график функции.
2. Область значений функции (множество значений функции).	В каких координатных четвертях располагается график функции.
3. Нули функции (значения аргумента и функции равные нулю).	Координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Промежутки знакопостоянства (значения аргумента, при которых функция принимает только положительные значения или только отрицательные значения).	В каких координатных четвертях располагается график функции.
5. Промежутки возрастания и убывания функции (значения аргумента, при которых функция возрастает или убывает).	Линия графика слева направо "растёт в горку" или "спускается под горку".
6. Чему равны значения функции при противоположных значениях аргумента ( y(-x)=y(x)  или  y(-x)=-y(x) ). Обладает ли функция свойством четности или нечетности.	График функции симметричен относительно вертикальной оси координат (четность) или относительно начала координат (нечетность). Либо не симметричен вовсе.
7. Непрерывность на области определения.	Можно ли провести линию графика, не отрывая карандаша от бумаги (на области определения функции)? Если нет, то функция не является непрерывной.
8. Выпуклость.	Выпуклость графика функции вверх  или вниз . (Относится не ко всем графикам).
9. Принимает ли функция наибольшее или наименьшее значение на своей области определения.	Самая верхняя или нижняя точка графика по вертикальной оси (оси ординат), если она существует.